<!DOCTYPE html><html class="hide-aside" lang="zh-CN" data-theme="light"><head><meta charset="UTF-8"><meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge"><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, user-scalable=no"><title>固定秩克里金法 | 西山晴雪的知识笔记</title><meta name="keywords" content="综述,点参考数据,空间表面,高斯场"><meta name="author" content="西山晴雪"><meta name="copyright" content="西山晴雪"><meta name="format-detection" content="telephone=no"><meta name="theme-color" content="#ffffff"><meta name="description" content="固定秩克里金法">
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class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-file-export"></i><span> 生成</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E4%BC%A0%E7%BB%9F%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 传统概率图模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%8E%BB%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%9B%BC%E6%9C%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-deezer"></i><span> 玻耳兹曼机</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%8F%98%E5%88%86%E8%87%AA%E7%BC%96%E7%A0%81%E5%99%A8/"><i class="fa-fw fa-brands 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fa-ghost"></i><span> 不确定性DL</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E6%A6%82%E8%A7%88"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E5%8D%95%E4%B8%80%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E6%80%A7%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 单一确定性神经网络</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 贝叶斯神经网络</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E9%9B%86%E6%88%90/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 深度集成</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A2%9E%E5%BC%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 数据增强</span></a></li><li><a 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fa-cloudsmith"></i><span> 点模式数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%96%B9%E6%B3%95/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 空间贝叶斯方法</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%8F%98%E7%B3%BB%E6%95%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 空间变系数模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 空间统计深度学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E6%97%B6%E7%A9%BA%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-atlas"></i><span> 时空统计模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE%E4%B8%93%E9%A2%98/"><i class="fa-fw fa fa-anchor"></i><span> 大数据专题</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/GeoAI/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> GeoAI</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-database"></i><span> 基础</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 高等数学</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%E7%BB%9F%E8%AE%A1/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 概率与统计</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%BA%BF%E4%BB%A3%E4%B8%8E%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 线代与矩阵论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E6%9C%80%E4%BC%98%E5%8C%96%E7%90%86%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 最优化理论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 信息论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 机器学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%9F%A5%E8%AF%86%E5%9B%BE%E8%B0%B1/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 知识图谱</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E8%87%AA%E7%84%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80%E5%A4%84%E7%90%86/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 自然语言处理</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%BC%96%E7%A8%8B/"><i class="fa-fw fas  fa-atlas"></i><span> 概率编程</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-book-open"></i><span> 书籍</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianAnalysiswithPython2nd/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-landmark-dome"></i><span> 《Bayesian Analysis with Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianModelingandComputationInPython/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-graduation-cap"></i><span> 《Bayesian Modeling and Computation in Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/ElementsOfStatisticalLearning/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-book-atlas"></i><span> 《统计学习精要（ESL）》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/spatialSTAT_CN/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-layer-group"></i><span> 《空间统计学》</span></a></li><li><a class="site-page child" target="_blank" rel="noopener" href="https://otexts.com/fppcn/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-cloud-sun-rain"></i><span> 《预测：方法与实践》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/MLAPP/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-robot"></i><span> 《机器学习的概率视角（MLAPP）》</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-compass"></i><span> 索引</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/archives/"><i class="fa-fw fa-solid fa-timeline"></i><span> 时间索引</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/tags/"><i class="fa-fw fas fa-tags"></i><span> 标签索引</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/"><i class="fa-fw fas fa-folder-open"></i><span> 分类索引</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-link"></i><span> 其他</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/link/food/"><i class="fa-fw fas fa-utensils"></i><span> 美食博主</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/link/photography"><i class="fa-fw fas fa-camera"></i><span> 摄影大神</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/link/paper/"><i class="fa-fw fas fa-book-open"></i><span> 学术工具</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/gallery/"><i class="fa-fw fas fa-images"></i><span> 摄影作品</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/about/"><i class="fa-fw fas fa-heart"></i><span> 关于</span></a></li></ul></div></div></div></div><div class="post" id="body-wrap"><header class="post-bg" id="page-header" style="background-image: url('/img/book_01.png')"><nav id="nav"><span id="blog_name"><a id="site-name" href="/">西山晴雪的知识笔记</a></span><div id="menus"><div id="search-button"><a class="site-page social-icon search"><i class="fas fa-search fa-fw"></i><span> 搜索</span></a></div><div class="menus_items"><div class="menus_item"><a class="site-page" href="/"><i class="fa-fw fas fa-home"></i><span> 主页</span></a></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-atom"></i><span> 预测</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%B9%BF%E4%B9%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-atom"></i><span> 广义线性模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9D%9E%E5%8F%82%E6%95%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-cogs"></i><span> 传统非参数模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%AB%98%E6%96%AF%E8%BF%87%E7%A8%8B/"><i class="fa-fw fas fa-school"></i><span> 高斯过程</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fas fa-layer-group"></i><span> 神经网络</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E5%9D%87/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 模型选择与平均</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%B0%8F%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 小样本学习</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-file-export"></i><span> 生成</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E4%BC%A0%E7%BB%9F%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 传统概率图模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%8E%BB%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%9B%BC%E6%9C%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-deezer"></i><span> 玻耳兹曼机</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%8F%98%E5%88%86%E8%87%AA%E7%BC%96%E7%A0%81%E5%99%A8/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 变分自编码器</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%87%AA%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 自回归模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%BD%92%E4%B8%80%E5%8C%96%E6%B5%81/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 归一化流</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%89%A9%E6%95%A3%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 扩散模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%83%BD%E9%87%8F%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 能量模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%94%9F%E6%88%90%E5%BC%8F%E5%AF%B9%E6%8A%97%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 生成式对抗网络</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-magnet"></i><span> 挖掘</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9A%90%E5%9B%A0%E5%AD%90%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 隐因子模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%8A%B6%E6%80%81%E7%A9%BA%E9%97%B4%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 状态空间模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 概率图学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9D%9E%E5%8F%82%E6%95%B0%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 非参数贝叶斯模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 表示学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E9%87%8A%E6%80%A7/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 可解释性</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%99%8D%E7%BB%B4/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 降维</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%81%9A%E7%B1%BB/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cogs"></i><span> 聚类</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-compass"></i><span> 贝叶斯</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 概率图模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E6%B4%9B%E6%8E%A8%E6%96%AD/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 蒙特卡罗推断</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%8E%A8%E6%96%AD/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 变分推断</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%BF%91%E4%BC%BC%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E8%AE%A1%E7%AE%97/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 近似贝叶斯计算</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E6%AF%94%E8%BE%83%E4%B8%8E%E9%80%89%E6%8B%A9/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 模型比较与选择</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E4%BC%98%E5%8C%96/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 贝叶斯优化</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-ghost"></i><span> 不确定性DL</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E6%A6%82%E8%A7%88"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E5%8D%95%E4%B8%80%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E6%80%A7%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 单一确定性神经网络</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 贝叶斯神经网络</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E9%9B%86%E6%88%90/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 深度集成</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A2%9E%E5%BC%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 数据增强</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E5%AF%B9%E6%AF%94%E4%B8%8E%E8%AF%84%E6%B5%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 对比与评测</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-map"></i><span> 空间统计</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%BB%BC%E8%BF%B0%E7%B1%BB/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%82%B9%E5%8F%82%E8%80%83%E6%95%B0%E6%8D%AE/"><i class="fa-fw fa-solid fa-map"></i><span> 点参考数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E9%9D%A2%E5%85%83%E6%95%B0%E6%8D%AE/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 面元数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%82%B9%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E6%95%B0%E6%8D%AE/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 点模式数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%96%B9%E6%B3%95/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 空间贝叶斯方法</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%8F%98%E7%B3%BB%E6%95%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 空间变系数模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 空间统计深度学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E6%97%B6%E7%A9%BA%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-atlas"></i><span> 时空统计模型</span></a></li><li><a class="site-page child" 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href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%BA%BF%E4%BB%A3%E4%B8%8E%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 线代与矩阵论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E6%9C%80%E4%BC%98%E5%8C%96%E7%90%86%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 最优化理论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 信息论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 机器学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%9F%A5%E8%AF%86%E5%9B%BE%E8%B0%B1/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 知识图谱</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E8%87%AA%E7%84%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80%E5%A4%84%E7%90%86/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 自然语言处理</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%BC%96%E7%A8%8B/"><i class="fa-fw fas  fa-atlas"></i><span> 概率编程</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-book-open"></i><span> 书籍</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianAnalysiswithPython2nd/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-landmark-dome"></i><span> 《Bayesian Analysis with Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianModelingandComputationInPython/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-graduation-cap"></i><span> 《Bayesian Modeling and Computation in Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/ElementsOfStatisticalLearning/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-book-atlas"></i><span> 《统计学习精要（ESL）》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/spatialSTAT_CN/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-layer-group"></i><span> 《空间统计学》</span></a></li><li><a class="site-page child" target="_blank" rel="noopener" href="https://otexts.com/fppcn/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-cloud-sun-rain"></i><span> 《预测：方法与实践》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/MLAPP/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-robot"></i><span> 《机器学习的概率视角（MLAPP）》</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" 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class="post-meta-categories"><span class="post-meta-separator">|</span><i class="fas fa-inbox fa-fw post-meta-icon"></i><a class="post-meta-categories" href="/categories/GeoAI/">GeoAI</a><i class="fas fa-angle-right post-meta-separator"></i><i class="fas fa-inbox fa-fw post-meta-icon"></i><a class="post-meta-categories" href="/categories/GeoAI/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE%E4%B8%93%E9%A2%98/">大数据专题</a><i class="fas fa-angle-right post-meta-separator"></i><i class="fas fa-inbox fa-fw post-meta-icon"></i><a class="post-meta-categories" href="/categories/GeoAI/%E7%82%B9%E5%8F%82%E8%80%83%E6%95%B0%E6%8D%AE/">点参考数据</a></span></div><div class="meta-secondline"><span class="post-meta-separator">|</span><span class="post-meta-wordcount"><i class="far fa-file-word fa-fw post-meta-icon"></i><span class="post-meta-label">字数总计:</span><span class="word-count">11.3k</span><span class="post-meta-separator">|</span><i class="far fa-clock fa-fw post-meta-icon"></i><span class="post-meta-label">阅读时长:</span><span>43分钟</span></span></div></div></div></header><main class="layout" id="content-inner"><div id="post"><article class="post-content" id="article-container"><script src='https://unpkg.com/tippy.js@2.0.2/dist/tippy.all.min.js'></script>
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<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdn.jsdelivr.net/hint.css/2.4.1/hint.min.css"><p>【摘 要】 非常大的空间数据集的空间统计具有挑战性。数据集的大小 n 会导致计算最优空间预测变量（例如克里金法）出现问题，因为其计算成本为 n 的三次方。此外，大型数据集通常是在大型空间域上定义，因此感兴趣的空间过程通常在该域上表现出非平稳行为。通过使用一组固定数量的基函数，可以定义一个灵活的非平稳协方差函数族，这导致了我们称之为固定秩克里金法的空间预测方法。具体来说，固定秩克里金法就是这类非平稳协方差函数内的克里金法。当 n 非常大时，它依赖于计算简化，以获得隐空间过程的空间最佳线性无偏预测器及其均方预测误差。基于最小化加权 Frobenius 范数的方法产生协方差函数参数的最佳估计量，然后将其代入固定秩克里金方程。新方法适用于在整个地球上观察到的非常大的臭氧数据集，其中 n 约为数十万。</p>
<p>【原 文】 Cressie, N. and Johannesson, G. (2008) ‘Fixed rank kriging for very large spatial data sets: Fixed Rank Kriging’, Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 70(1), pp. 209–226. Available at: <a target="_blank" rel="noopener" href="https://doi.org/10.1111/j.1467-9868.2007.00633.x">https://doi.org/10.1111/j.1467-9868.2007.00633.x</a>.</p>
<h2 id="1-引言">1 引言</h2>
<p>克里金法或空间最佳线性无偏预测 (BLUP) 在地球和环境科学中非常流行，有时被称为最佳插值。 Matheron (1962)<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Matheron1962">[26]</a></sup> 创造了术语 “克里金法” 以纪念南非采矿工程师 D. G. Krige (Cressie, 1990) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Cressie1990">[6]</a></sup>。通过协方差函数（或变异函数）对空间可变性进行内部量化，克里金法可以根据不完整和含噪声的空间数据生成最佳预测图和相关预测标准误差（例如 Cressie (1993) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Cressie1993">[7]</a></sup>，第 3 章）。有时空间数据的获取成本很高（例如，为估算石油储量而钻井），在这种情况下，样本量 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 通常较小，克里金法可以直接执行。但随着卫星遥感平台的普及，数据库范式从小到大，通常是每天千兆字节的量级。求解克里金方程直接涉及 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n × n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 方差-协方差矩阵 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">Σ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol{\Sigma}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6861em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathbf">Σ</span></span></span></span></span></span> 的求逆，其中 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 个数据可能需要 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(n^3)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> 计算才能获得 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Sigma^{-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord">Σ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>。在这些情况下，无法直接对海量数据集进行克里格法处理。我们在本文中的目标是开发将克里金法的计算成本降低到 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> 的方法。</p>
<p>即使是几千数量级的空间数据集也会导致计算速度减慢。数据子集的临时方法由 Haas (1995) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Haas1995">[13]</a></sup> 的移动窗口方法形式化，尽管看起来在窗口内拟合的局部协方差函数在较大空间滞后时会产生不相容的协方差。当协方差函数具有有限范围时，方差-协方差矩阵 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">Σ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol{\Sigma}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6861em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathbf">Σ</span></span></span></span></span></span> 通常是稀疏的，因此 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Sigma^{-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord">Σ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 可以通过使用稀疏矩阵技术获得。 Rue 和 Tjelmeland (2002) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Rue2002">[33]</a></sup> 将 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Sigma^{-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord">Σ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 近似为稀疏矩阵，将其近似为包裹在环面上的高斯马尔可夫随机场的精度矩阵。</p>
<p>当数据集很大（数万量级）到非常大（数十万量级）时，直接的克里金法可能会失效，通常会使用临时的局部克里金法邻域（例如 Cressie (1993) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Cressie1993">[7]</a></sup>，第 131–134页)。最近研究的一个途径是近似克里金方程（Nychka 等，1996 年 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Nychka1996">[30]</a></sup>，2002 年<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Nychka2002">[31]</a></sup>；Nychka，2000 年 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Nychka2000">[29]</a></sup>；Billings 等，2002 年<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Billings2002a">[2]</a></sup><sup class="refplus-num"><a href="#ref-Billings2002b">[3]</a></sup>；Furrer 等，2006 年<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Furrer2006">[12]</a></sup>；Quinonero-Candela 和 Rasmussen，2005 年 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Quinonero-Candela2005">[32]</a></sup>）。建议包括根据正交基给出等效表示并截断基、进行协方差递减、使用近似迭代方法（如共轭梯度）、使用归纳变量实现稀疏近似或用更小的空间内填充位置集替换数据位置。 Kammann 和 Wand (2003)<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Kammann2003">[23]</a></sup> 在拟合一类他们称为地理加性模型的空间模型时采用了最后一个想法。</p>
<p>另一种方法是选择协方差函数的类别，即使空间数据集很大，也可以对其进行精确的克里金法（例如 Huang 等 (2002) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Huang2002">[18]</a></sup>、Johannesson 和 Cressie (2004a) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Johannesson2004a">[19]</a></sup> 以及 Johannesson 等 (2007) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Johannesson2007">[21]</a></sup>）)。在这些论文中，构建了一个多分辨率空间（和时空）过程，以便克里金法可以迭代和极快地计算，计算复杂度与数据大小成线性关系。在空间案例中，Johannesson 和 Cressie (2004a) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Johannesson2004a">[19]</a></sup> 实现了 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><msup><mn>0</mn><mn>8</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">10^8</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mord"><span class="mord">0</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">8</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 数量级的加速比直接求解克里金方程。他们可以在大约 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>3</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">3</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">3</span></span></span></span> 分钟内为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>160000</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n=160 000</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">160000</span></span></span></span> 计算出整个地球的最佳空间预测变量及其相关的均方预测误差。拥有允许精确计算的空间模型的一个优点是，无需担心近似克里金预测变量有多接近近似均方预测误差为相应的理论值。对于精确方法，有两个重要问题，即用于克里金法的空间协方差函数有多灵活以及它们是如何拟合的？</p>
<p>对于上面提到的多分辨率模型，隐含的空间协方差是非平稳和“块状”的。在本文中，我们使用一种不同的方法来实现最佳空间预测的数量级加速，使用非常灵活的协方差函数，可以选择是否平滑，这取决于通过空间数据所展示的空间依赖类型（与 Tzeng 等（2005）<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Tzeng2005">[38]</a></sup> 的方法相反）。我们将证明存在一类非常丰富的空间协方差，从中可以精确地执行大型空间数据集的克里金法，计算成本仅为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>。</p>
<p>接下来，我们考虑一类 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n × n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 方差-协方差矩阵 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">Σ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol{\Sigma}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6861em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathbf">Σ</span></span></span></span></span></span> 使得 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Sigma^{-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord">Σ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 可以通过对 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>×</mo><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r × r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> 矩阵求逆得到，其中 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> 是固定的；在<code>第 4 节</code>中给出的臭氧 (TCO) 数据应用中，<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>173405</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">173 405</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">173405</span></span></span></span>，<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> 被选择为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>396</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">396</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">396</span></span></span></span>。根据<code>第 2.3 节</code>中给出的推导，每个预测位置的计算次数克里金方程为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(nr^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>，它仅随样本量线性增加。</p>
<p>此外，假设该数据集是来自实现全球覆盖的卫星遥感的结果。那么数据中的任何空间依赖性几乎肯定会在全球范围内异质。本文介绍的方法的创新之处在于；我们直接解决了这两个问题（数据集大小和空间异质性）。结果是我们称之为固定秩克里金法 (FRK) 的空间 BLUP 过程，它依赖于对 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> 固定且独立于 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 的 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>×</mo><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r × r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> 矩阵求逆。</p>
<p>为了完整起见，我们提到了另一种空间预测方法，它基于平滑样条。与克里金法相比，平滑样条不依赖于空间随机过程，其协方差函数必须建模、拟合并用于计算最佳预测变量。然而，有结点和平滑参数需要确定，而且空间数据集的大小再次导致计算困难。 Hastie (1996) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Hastie1996">[14]</a></sup> 和 Johannesson 和 Cressie (2004b) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Johannesson2004b">[20]</a></sup> 为海量数据集开发了低阶样条平滑器。</p>
<p>要进行 FRK，我们必须指定（非平稳）协方差函数的形式；我们提出的类足够灵活，可以对多个尺度的空间变化进行建模，并产生一个 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n × n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 方差-协方差矩阵 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">Σ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol{\Sigma}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6861em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathbf">Σ</span></span></span></span></span></span>，其逆矩阵可以直接计算。最小化均方预测误差的空间 BLUP 在各种矩阵计算中涉及 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Sigma^{-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord">Σ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>；我们表明 FRK 的计算成本与 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 成线性关系。空间协方差函数通过最小化加权 Frobenius 范数来拟合经验协方差。</p>
<p><code>第 2 节</code> 介绍了克里格法并给出了定义 FRK 的方程式。在<code>第 3 节</code>中，研究了 FRK 中使用的一类非平稳协方差函数，包括如何找到最适合数据的协方差函数。<code>第 4 节</code>将该方法应用于 TCO 数据，其中 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>173405</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n = 173 405</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">173405</span></span></span></span>；通过直接求逆数据的 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n × n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 理论方差-协方差矩阵来进行克里金法是不可能的。<code>第 5 节</code>包含讨论和结论，后面是技术<code>附录 A</code>。</p>
<h2 id="2-Kriging：最优线性空间预测">2 Kriging：最优线性空间预测</h2>
<p>在本节中，我们将介绍克里金法的表示法，并将其等同于空间设置中的 BLUP。当空间数据集很大时，通常不可能精确计算克里金法。在本节的后半部分，我们展示了选择特定类别的非平稳空间协方差如何允许快速计算克里金预测变量（即空间 BLUP）和克里金标准误差（即均方根预测误差）。</p>
<h3 id="2-1-克里金方程">2.1 克里金方程</h3>
<p>设 {Y(\mathbf{s}) : \mathbf{s} \in  \mathcal{D} ⊂ Rd} 为实值空间过程。我们有兴趣在包含测量误差的数据的基础上对 Y 过程进行推断；考虑实际和潜在观察的过程 Z(\cdot)，</p>
<p class="katex-block"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>Z</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≡</mo><mi>Y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="bold">s</mi><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="script">D</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z(\mathbf{s}) ≡ Y(\mathbf{s}) + \varepsilon{\mathbf{s}}, \mathbf{s} \in  \mathcal{D}
</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">Z</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≡</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">Y</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">ε</span><span class="mord"><span class="mord mathbf">s</span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">D</span></span></span></span></span></p>
<p>其中 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">{</mo><mi>ε</mi><mi mathvariant="bold">s</mi><mo>:</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="script">D</mi><mo stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\{\varepsilon{\mathbf{s}} : \mathbf{s} \in  \mathcal{D} \}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">{</span><span class="mord mathnormal">ε</span><span class="mord"><span class="mord mathbf">s</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mclose">}</span></span></span></span> 是均值为 0 的空间白噪声过程，<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mrow><mi>ε</mi><mi mathvariant="bold">s</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>σ</mi><mn>2</mn></msup><mi>v</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">var{\varepsilon{\mathbf{s}}} = \sigma^2  v(\mathbf{s}) \in  (0, \infty)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4444em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">ε</span><span class="mord"><span class="mord mathbf">s</span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">σ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord">0</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">∞</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">s</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="script">D</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbf{s} \in  \mathcal{D}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">D</span></span></span></span>，对于 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>σ</mi><mn>2</mn></msup><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sigma^2  &gt; 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8532em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">σ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span> 且 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v(\cdot)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> 已知。事实上，过程 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Z</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z(\cdot)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">Z</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> 仅在有限数量的空间位置 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">{</mo><mi>s</mi><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>s</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\{s1,...,sn\}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">{</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">}</span></span></span></span> 已知；将可用数据的向量定义为</p>
<p class="katex-block"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>Z</mi><mo>≡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>Z</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>s</mi><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>Z</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>s</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">/</mi><mtext>′</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z ≡ (Z.s1),(..,Z.sn)/′
</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">Z</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≡</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">Z</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord">..</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">Z</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">/′</span></span></span></span></span></p>
<p>假设隐藏过程 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Y(\cdot)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">Y</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> 具有线性均值结构，</p>
<p class="katex-block"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>Y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext>′</mtext><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>ν</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="script">D</mi><mo separator="true">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Y(\mathbf{s}) = t(\mathbf{s})′α + ν(\mathbf{s}), \mathbf{s} \in  \mathcal{D},
</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">Y</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">′</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mpunct">,</span></span></span></span></span></p>
<p>其中 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo>≡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mn>1</mn><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mtext>′</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t(\cdot) ≡ (t1(\cdot),...,tp(\cdot))′</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≡</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord">1</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">tp</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mclose">))</span><span class="mord">′</span></span></span></span> 表示已知协变量的向量过程；系数 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>α</mi><mo>≡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>α</mi><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>α</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext>′</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">α ≡ (α1,...,αp)′</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4637em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≡</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">′</span></span></span></span> 未知，过程 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ν</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ν(\cdot)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> 具有零均值，<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>0</mn><mo>&lt;</mo><mrow><mi mathvariant="double-struck">V</mi><mi mathvariant="double-struck">a</mi><mi mathvariant="double-struck">r</mi></mrow><mo stretchy="false">{</mo><mi>ν</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold">s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">}</mo><mo>&lt;</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">0 &lt; \mathbb{Var}\{ν(\mathbf{s})\} &lt; \infty</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6835em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">0</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathbb">V</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span><span class="mopen">{</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mclose">)}</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord">∞</span></span></span></span>，对于所有 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">s</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="script">D</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbf{s} \in  \mathcal{D}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathbf">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">D</span></span></span></span>，并且通常非-平稳空间协方差函数，</p>
<p class="katex-block"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>v</mi><mrow><mi>ν</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi>ν</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo>≡</mo><mi>C</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="script">D</mi><mo separator="true">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">cov{ν(u), ν(v)} ≡ C(u, v), u, v \in  \mathcal{D},
</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">co</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≡</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mpunct">,</span></span></span></span></span></p>
<p>目前尚未指定。</p>
<p>如果我们以与 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">Z</span></span></span></span> 类似的方式定义 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ε</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ε</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">ε</span></span></span></span>、<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Y</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">Y</span></span></span></span> 和 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ν</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ν</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span></span></span></span>，则表达式 (2.1)–(2.4) 表示一般线性混合模型，<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Z</mi><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>δ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z = Tα + δ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">Z</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03785em;">δ</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>δ</mi><mo>=</mo><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>ε</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">δ = ν + ε</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03785em;">δ</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">ε</span></span></span></span>, .2:5/ 其中 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> 是协变量 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mtext>′</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(t(s1),...,t(sn))′</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">))</span><span class="mord">′</span></span></span></span> 的 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>p</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n × p</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span></span></span></span> 矩阵。从模型 (2.5) 观察，误差项 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>δ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">δ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03785em;">δ</span></span></span></span> 由两个独立的零均值分量组成，导致 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>δ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E(δ) = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03785em;">δ</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span> 和 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>δ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="bold">Σ</mi><mo>≡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>σ</mi><mi>i</mi><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">var(δ) = \boldsymbol{\Sigma} ≡ (σij)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03785em;">δ</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6861em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathbf">Σ</span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≡</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">σij</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>，其中 σij = { C(sj , sj) + \sigma^2  v(sj), i = j, C(si, sj), i = j。</p>
<p>n 写作C ≡ (<a target="_blank" rel="noopener" href="http://C.si">C.si</a>, sj)/ 和V ≡ diag{v(s1),(…,<a target="_blank" rel="noopener" href="http://v.sn">v.sn</a>)}，易见\boldsymbol{\Sigma} = C + \sigma^2 V</p>
<p>没有假设协方差函数的平稳性或各向同性；也不会有。</p>
<p>兴趣在于对 Y 过程的推理，而不是嘈杂的 Z 过程。对于点预测，我们希望预测位置 s0 处的 Y 过程，s0 \in  \mathcal{D}，而不管 s0 是​​否是观察位置。 Cressie (1993)，第 3.4.5 节，根据协方差函数给出了 Y.s0/ 的克里格预测变量的公式：</p>
<p>Y(s0) = t(s0)′ ^ α + k(s0)′(Z − T ^ α),</p>
<p>其中</p>
<p>α = (T′\Sigma^{-1}T)−1T′\Sigma^{-1}Z, (2:8) k(s0)′ = c(s0)′\Sigma^{-1},</p>
<p>和 c(s0) ≡ (C.s0, s1),(…,C.s0, sn)/′。等式 (2.7) 与克里金法的等价性可能不会立即显现出来，因为克里金法的传统推导是根据变异函数得出的，并且没有测量误差（即，表达式 (2.1) 中的“-过程相同为 0）；参见Journel 和 Huijbregts (1978)，第五章。克里金标准误差是 ^ Y.s0/,[E{Y(s0) − ^ Y(s0)}2]1=2 的均方根预测误差，这是由</p>
<p>σk(s0) = {C(s0, s0) − k(s0)′\boldsymbol{\Sigma} k(s0) + (t.s0) − T′ k(s0)/′(T′\Sigma^{-1}T)−1(t. s0) − T′ k(s0)/}1=2</p>
<p>由于式(2.7)和(2.10)中的预测位置s0随\mathcal{D}变化，分别生成kriging预测图和kriging标准误差图。 （在实践中，预测位置的数量是有限的，通常被视为叠加在 \mathcal{D} 上的精细分辨率网格的节点。）</p>
<p>检查克里金方程 (2.7) 和 (2.10) 表明 \Sigma^{-1} 是一个重要组成部分，也是可能出现计算瓶颈的最明显的地方。通用 n × n 对称正定矩阵的逆矩阵的计算成本为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(n^3)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>。当 n 为数万及以上时，方程 (2.7) 和 (2.10) 通常无法在任何合理的时间内计算。在下一小节中，我们将展示选择丰富的协方差函数类如何为最佳空间预测（即克里金法）产生数量级的加速。</p>
<h3 id="2-2-空间协方差函数">2.2 空间协方差函数</h3>
<p>一般而言，式(2.4)定义的协方差函数C.u,v/在Rd×Rd上必须是正定的。 C(u, v) 通常被建模为平稳的，在这种情况下，它必须是 u − v 的非负定函数。在本文中，我们采用不同的方法，而是尝试通过一组 r（不一定正交）基函数，</p>
<p>S(u) ≡ (S1.u),(…,Sr.u)/′, u \in  Rd</p>
<p>其中 r 是固定的。基函数的例子在 3.1 节中给出。对于任意 r × r 正定矩阵 K，我们根据以下公式对 cov{Y.u/, Y(v)} 进行建模</p>
<p>C(u, v) = S(u)′KS(v), u, v \in  Rd,</p>
<p>它可以被证明是一个非负定函数（第 3.1 节），因此是一个有效的协方差函数（Cressie 和 Johannesson，2006 年）。可以将 τ 2 I.u = v/ 添加到表达式 (2.12) 中，尽管我们在本文中没有这样做；见第 5 节。</p>
<p>很容易看出表达式 (2(12) 是写作 ν(\mathbf{s}) = S(\mathbf{s})′η, \mathbf{s} \in  \mathcal{D} 的结果，其中 η 是一个 r 维向量，var.η) = K。我们称该模型为ν(\cdot) 空间随机效应模型。因此，由式(2.3)可知，Y(\mathbf{s}) = t(\mathbf{s})′β + S(\mathbf{s})′η, \mathbf{s} \in  \mathcal{D}，这是一个混合效应线性模型，我们称之为空间混合效应模型。</p>
<h3 id="2-3-固定秩克里金法">2.3 固定秩克里金法</h3>
<p>由式(2.12)可得Y(或ν)的n×n理论方差-协方差矩阵为C=SKS′，因此</p>
<p>\boldsymbol{\Sigma} = SKS′ + \sigma^2 V,</p>
<p>其中未知参数是 K，一个正定 r × r 矩阵，并且 \sigma^2  &gt; 0。S，n × r 矩阵，其 (i，l) 元素是 Sl(si)，和 V，一个对角矩阵，其条目给定由测量误差方差，假设已知。进一步，</p>
<p>cov{Y(s0), Z} = c(s0)′ = S(s0)′KS′,</p>
<p>即，在模型（2.1）、（2.3）和（2.12）的基础上，我们可以找到克里金方程（2.7）和（2.10）中需要的所有分量的表达式</p>
<p>仍然存在 n 非常大到大量的问题，但正如我们现在将要展示的那样，协方差函数 (2.12) 的选择允许使用其他方法来计算仅涉及 r × r 矩阵求逆的克里金方程。回想一下等式 (2.13) 中的 \boldsymbol{\Sigma} = SKS’ + \sigma^2 V，其中 V 是对角线。然后</p>
<p>\Sigma^{-1} = σ−1 V−1=2{I + (ì−1V1=2S)K(σ−1V−1=2S)′}−1σ−1V−1=2</p>
<p>现在，很容易看出，对于任何 n × r 矩阵 P，</p>
<p>I + PKP′ = I + (I + PKP′)PK(I + P′PK)−1P′：</p>
<p>乘以 (I + PKP′)−1 产生</p>
<p>(I + PKP′)−1 = I − P(K−1 + P′P)−1P′,</p>
<p>这是 Sherman–Morrison–Woodbury 公式所涵盖的结果（参见 Henderson 和 Searle (1981)）。然后将其用于等式 (2.15) 以简化计算</p>
<p>\Sigma^{-1} = (\sigma^2 V)−1 − (\sigma^2 V)−1S{K−1 + S′(\sigma^2 V)−1S}−1S′(\sigma^2 V)−1</p>
<p>请注意，\Sigma^{-1} 的公式 (2.16) 涉及反转固定秩 r × r 正定矩阵和 n × n 对角矩阵 V。最后，克里金法预测器（空间 BLUP）(2.7) 是</p>
<p>Y(s0) = t(s0)′ ^ α + S(s0)′KS′\Sigma^{-1}(Z − T ^ α),</p>
<p>其中 ^ α = (T′\Sigma^{-1}T)−1T′\Sigma^{-1}Z 和 \Sigma^{-1} 由等式 (2.16) 给出。克里金标准误差 (2.10) 是</p>
<p>σk(s0) = {S(s0)′KS(s0) − S(s0)′KS′\Sigma^{-1}SK S(s0) + (t.s0) − T′\Sigma^{-1}SK S(s0)/′(T ′\Sigma^{-1}T)−1(t.s0) − T′\Sigma^{-1}SK S(s0)/}1=2,</p>
<p>其中 \Sigma^{-1} 再次由等式 (2.16) 给出。 FRK 是我们赋予方程 (2.16)–(2.18) 的方法的名称（Cressie 和 Johannesson，2006）。由于方程(2.17)和(2.18)中的预测位置s0随\mathcal{D}变化，分别生成克里金预测图和克里金标准误差图。</p>
<p>检查等式 (2.16)–(2.18) 表明，对于固定数量的回归变量 p 和 K 的固定秩 r，在由表达式 (2.12) 定义的协方差模型中，FRK 的计算负担仅在 n 中呈线性.为了解这一点（并且不失一般性地假设 \sigma^2 V = I），与方程式 (2.17) 和 (2.18) 相关的计算涉及 S′\Sigma^{-1}S、S′\Sigma^{-1}a 和 \Sigma^{-1}a 的计算，对于给定长度为 n 的向量 a。为了执行这些计算，A ≡ S′S 和 B ≡ .K−1 + S′S/−1 最初被计算，最大计算成本为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(nr^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>（我们假设 n&gt;r）。那么，由式（2.16）可知，S′\Sigma^{-1}S = A − ABA，ABA需要O.r3/计算。数量 S’\Sigma^{-1}a 和 \Sigma^{-1}a 的计算成本永远不会超过 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(nr^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>。最后，等式 (2.17) 有 O.r/ 计算，等式 (2.18) 有 O.r2/ 计算（假设 p r）forafixeds0。因此，总计算成本为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(nr^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>。正如第 4 节中给出的时间所证实的那样，FRK 方法使得构建基于非常大的空间数据集的克里金预测变量和克里金标准误差的地图成为可能。</p>
<p>克里金方法和平滑方法之间的关系现在已经很好地建立起来了（例如 Cressie (1993)，第 5.9 节和 Nychka (2000)）。事实上，依赖于协方差模型 (2.12) 的 FRK 是由固定秩平滑技术驱动的，该技术从正则化和岭回归演化而来（Johannesson 和 Cressie，2004b）。我们方法的新颖之处在于结合了固定秩正定矩阵 K（待估计的参数）和基函数 {Sl(\cdot)}（待指定），从而产生非常灵活的空间协方差函数 (2.12)，随后通过计算效率高（与数据数量呈线性关系）的克里金预测变量和大型空间数据集的克里金标准误差。</p>
<p>在下一节中，我们将详细考虑 K 的估计和测量误差方差 \sigma^2 。</p>
<h2 id="3-协方差函数类">3 协方差函数类</h2>
<p>从表达式 (2.12) 回想一下，我们在本文中考虑的协方差函数类：</p>
<p>C(u, v) = S(u)′KS(v), u, v \in  Rd,</p>
<p>其中 K 是一个 r × r 正定矩阵，S(\cdot) 是由基函数 S1(\cdot),…,Sr(\cdot) 组成的 r × 1 向量，其中 r 是固定的。这类似于 Stroud 等给出的形式。 (2001)</p>
<p>尽管他们用它来激发时空模型并且没有考虑为克里金法反转 \boldsymbol{\Sigma}。在接下来的小节中，我们给出了这类协方差函数的一些性质。我们还展示了在经典地统计学意义上，数据是如何被使用两次的（例如 Cressie (1989)）。它们不仅（线性）存在于克里格预测器 (2.7) 中；它们还用于（非线性地）获得空间相关参数 K 和 \sigma^2  的估计量。</p>
<h3 id="3-1-一些基本属性">3.1 一些基本属性</h3>
<p>最重要的是，函数 C(u, v) 是非负定的，其证明很简单：对于 Rd 中的任何位置 {si : i = 1,…,m}，任何实数 {bi : i = 1, …,m}，和任何整数 m，然后（使用明显的符号），</p>
<p>m ∑ i=1 m ∑ j=1 bibj C(si, sj) = b′ m(SmKS′m)bm = (S′mbm)′K(S′mbm) 0,</p>
<p>因为 K 是正定的。</p>
<p>表达式 (2.12) 的相关模型，但不同于上面给出的 C.·,·/，是 Karhunen–Loéve 展开的结果（例如 Adler (1981)，第 3.3 节）。定义协方差函数 C1.u, v/ ≡ ∞ ∑ l=1 λl φl(u) φl(v), (3:1) 其中{λl}和{φl(\cdot)}为非负特征值和正交特征函数分别由积分方程得到</p>
<p>∫ C1(u, v) φ(v) dv = λφ(u):</p>
<p>在函数 (3.1) 的第 k 项处截断，我们得到一个不同的协方差函数 C2.u，v/ = k ∑ l=1 λl φl(u) φl(v) ≡ φ(u)′Λ φ(v )，其中 Λ 是非负项的 k × k 对角矩阵。不失一般性，假设截断只保留具有正特征值的项；那么截断的 Karhunen–Loéve 展开显然是表达式 (2.12) 的一个特例。相反，如果我们将 K 写成它的谱形式，K = PΛP′，我们会看到 C.u, v/ = (P′ S.u)/′Λ(P′ S.v)/，它看起来像一个截断的 Karhunen–Loéve 展开，但是非正交函数 {φl(\cdot)}。综上所述，模型 (2.12) 涉及要估计的固定秩方差-协方差矩阵 K（通常不是单位矩阵 I）和要选择的一组有限基函数（通常不是正交的）。</p>
<h3 id="3-2-基函数">3.2 基函数</h3>
<p>因为我们不要求基函数的正交性，所以 S1(\cdot),…,Sr(\cdot) 的选择不受限制，并且可能包括平滑样条基函数（例如 Wahba (1990)）、小波基函数（例如 Vidakovic (1999)）和径向基函数（例如 Hastie 等 (2001)，第 186-187 页）。 K 是根据数据估算的，而 S(\cdot) ≡ .S1(\cdot),…,Sn(\cdot)/′ 不是。 Nychka (2000) 和 Nychka 等 (2002) 汇集了基函数的各种选择，他们假设 r = n（即 r 等于样本大小，因此不固定，或者如果 r 固定，则 K 是对角线）。 Nychka 等令人信服地证明了类 (2.12) 逼近地统计学中使用的其他协方差函数的能力，例如各向同性指数模型。 (2002)。事实上，在第 4 节中，我们将在地球上进行克里金法，我们选择基函数为多分辨率局部双平方函数</p>
<p>我们关于基函数选择的主要建议是它们是多分辨率的。这使得协方差函数模型 (2.12) 能够捕获多个变化尺度。在 2.2 节中，可以看出模型 (2.12) 可以等效地被认为是空间随机效应模型 S(\cdot)′η，其中随机效应 η 具有由 K 给出的依赖结构。因此，S 的多分辨率分量(\cdot) 允许捕获许多空间尺度的变化。实际上，表达式 (2.3) 中的平均函数 t(\cdot)′α 遗漏的大空间尺度可能会被 S(\cdot)′η 的一些空间随机效应分量恢复。</p>
<p>明显的多分辨率函数类别是不同类型的小波；同样，第 4 节中使用的局部双平方函数类是多分辨率的（但不是正交的）。事实上，在对气溶胶卫星数据的分析中，Shi 和 Cressie (2007) 选择（非正交）W 小波作为均值函数矢量 t(\cdot) 和协方差基函数 S(\cdot) 的分量.在这种情况下，问题简化为关于在 t(\cdot) 中使用哪些小波以及在 S(\cdot) 中使用哪些小波的模型选择之一，Shi 和 Cressie (2007) 给出了解决方案。从几个基函数中选择使用哪一类基函数这个更困难的问题目前正在研究中。如果我们希望比较两个 FRK 映射以检测异常差异，我们建议 t(\cdot) 和 S(\cdot) 的组件对于两个映射是相同的。</p>
<p>从计算的角度来看，使用一类可以快速计算任意 a 的 S’V−1S 和 S’a 的基函数是有益的。尽管我们在第 2.3 节中看到此类计算通常为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(nr^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>，但通过使用第 4 节中的双平方类或小波类和稀疏矩阵库，计算成本实际上可以降低到 O.kr2/，其中 k&lt;名词</p>
<h3 id="3-3-拟合协方差函数">3.3 拟合协方差函数</h3>
<p>我们采用的拟合空间协方差函数的策略与经典阐述中发现的地统计学方法一致，如 Matheron (1963) 和 Journel 和 Huijbregts (1978) 的方法。在该方法中，首先获得 \boldsymbol{\Sigma} 的经验估计量，它基于矩量法。得到的估计量 ^ \boldsymbol{\Sigma} 是有噪声的，可能不是正定的。然而，在参数类 {\boldsymbol{\Sigma}(θ) : θ \in  Θ} 的基础上，其中类的每个成员都是正定的，我们选择一个 ^ θ \in  Θ 使得 \boldsymbol{\Sigma}( ^ θ) 最接近于 ^ \boldsymbol{\Sigma}。最后，得到的 \boldsymbol{\Sigma}。将 θ/ 代入克里金方程 (2.17) 和 (2.18)。</p>
<p>在接下来的内容中，我们看到空间相关参数 θ 由 r × r 正定矩阵 K 和方差分量 \sigma^2  \in  (0, ∞) 组成。估计 ^ K 和 ^ \sigma^2  是通过最小化经验方差-协方差矩阵和理论方差-协方差矩阵之间的 Frobenius 范数获得的。</p>
<p>首先，我们定义方差和协方差的经验估计，为此我们需要去除趋势的数据。在缺乏空间依赖性和计算速度的初始知识的情况下，我们使用 α 的普通最小二乘估计量，</p>
<p>α ≡ (T′T)−1T′Z,</p>
<p>我们从中定义细节残差，</p>
<p>D(si) ≡ Z(si) − t(si)′ ̄ α, i = 1,…,n:</p>
<p>与经典地统计学一样，我们将数据“装箱”以计算空间依赖性的矩量法估计量。 bin 的数量 M 是固定的，但大于 r，即基函数的数量。因此，对于协方差的估计和拟合，一旦数据被装箱，计算复杂度就不再依赖于 n。假设 {uj : j = 1,…,M}，其中 r M&lt;n，是一组位置或 bin 中心，提供对 \mathcal{D} 的良好覆盖。在第 j 个 bin 中心 uj 周围，定义邻域 N。 uj/ 和 0-1 权重，</p>
<p>wji ≡ { 1, 如果 si \in  N(uj), 0, 否则,</p>
<p>我 = 1,…,n, j = 1,…,M。表示 wj ≡ .wj1,…,wjn/′ 并定义</p>
<p>e wj ≡ (wj1,…,wjn)′ 并定义 ̄ Zj ≡ w′ j(Z − T ̄ α)=w′ j1n,</p>
<p>其中 1n 是 1s 的 n × 1 向量，是与 bin 中心 uj, j = 1,…,M 相关联的平均去趋势数据。</p>
<p>在附录 A 的近似 (A.4) 中，我们展示了 \boldsymbol{\Sigma}M ≡ var。 ̄ Z1,…, ̄ ZM / 可以近似为̄ \boldsymbol{\Sigma}M (K, \sigma^2 ) ≡ ̄ SK ̄ S′ + \sigma^2  ̄ V，其中̄ \mathbf{s} 和̄ V 是 \mathbf{s} 和 V 的易于计算的合并版本；与经典地统计学一样，近似是由分箱引起的小偏差引起的。此外，在附录 A 的表达式 (A.2) 中，我们给出了基于细节残差 (3.3) 的经验正定估计 ^ \boldsymbol{\Sigma}M。然后我们选择 K positive definite 和 \sigma^2  \in  .0, ∞/ 使得 ̄ \boldsymbol{\Sigma}M (K, \sigma^2 ) 尽可能“接近” ^ \boldsymbol{\Sigma}M。</p>
<p>同阶的两个矩阵A和B之间存在各种矩阵范数。我们将使用的是 Frobenius 范数，</p>
<p>‖A − B‖2 ≡ tr{(A − B)′(A − B)} = ∑ j,k (Ajk − Bjk)2</p>
<p>这也被 Hastie (1996) 用于推导伪样条曲线，以及 Donoho 等 (1998) 估计协方差。我们最终将使用加权 Frobenius 范数，本着与变异函数的加权最小二乘估计相同的精神 (Cressie, 1985)，但目前我们考虑未加权的版本 (3.6)。</p>
<p>当\sigma^2  = 0时，̄ \boldsymbol{\Sigma}M(K,0) = ̄ SK ̄ S′。使用 Frobenius 范数，最小化 ‖ ^ \boldsymbol{\Sigma}M − ̄ \boldsymbol{\Sigma}M(K,0)‖ 的 K 由下式给出（参见附录 A）</p>
<p>K = R−1Q′ ^ \boldsymbol{\Sigma}M Q(R−1)′,</p>
<p>对应的拟合方差-协方差矩阵为 ̄ \boldsymbol{\Sigma}M 。 ^ K,0/ = QQ’ ^ \boldsymbol{\Sigma}M QQ’，其中 ̄ \mathbf{s} = QR 是 ̄ \mathbf{s} 的 Q–R 分解（即 Q 是 M × r 正交矩阵，R 是非奇异 r × r 上三角矩阵） . Q-R 分解的计算成本为 O.r3/。由于 ^ \boldsymbol{\Sigma}M 是正定的，因此 ^ K 也是正定的。</p>
<p>当 \sigma^2  \in  (0, ∞),</p>
<p>‖^ \boldsymbol{\Sigma}M − ̄ \boldsymbol{\Sigma}M(K, \sigma^2 )‖=‖ ^ \boldsymbol{\Sigma}M − \sigma^2  ̄ V− ̄ SK ̄ S′‖,</p>
<p>产生最佳参数估计（根据给定的 \sigma^2 ）</p>
<p>K = R−1Q′。 ^ \boldsymbol{\Sigma}M − \sigma^2  ̄ V/Q(R−1)′;</p>
<p>相应的拟合方差-协方差矩阵是 ̄ \boldsymbol{\Sigma}M 。 ^ K, \sigma^2 / 由</p>
<p>\boldsymbol{\Sigma}M。 ^ K, \sigma^2 / = QQ′。 ^ \boldsymbol{\Sigma}M − \sigma^2  ̄ V/QQ′ + \sigma^2  ̄ V = QQ′ ^ \boldsymbol{\Sigma}M QQ′ + \sigma^2 。 ̄ V − QQ′ ̄ VQQ′/:</p>
<p>因此，可以通过最小化关于 \sigma^2  \in  (0, ∞) 来获得 \sigma^2 ：</p>
<p>‖ \boldsymbol{\Sigma}M − \boldsymbol{\Sigma}M 。 ^ K, \sigma^2 /‖2 = ∑ j,k {( ^ \boldsymbol{\Sigma}M − P. ^ \boldsymbol{\Sigma}M )/jk − \sigma^2 。 ̄ V − P( ̄ V)/jk }2</p>
<p>其中对于任何 M × M 矩阵 A，P(A) ≡ QQ′AQQ′。计算成本为 O(M3)。请注意，这只是一个具有斜率 \sigma^2  和零截距的简单线性回归。因此，受约束使等式 (3.8) 为正定且 \sigma^2  \in  .0, ∞/ 的最小化很容易执行。结果是</p>
<p>K = R−1Q′。 ^ \boldsymbol{\Sigma}M − ^ \sigma^2  ̄ V/Q(R−1)′</p>
<p>对于 r&lt;M，参数估计的计算成本为 O(M3)，这意味着 M 的一个好的选择是独立于 n 的，因此不支配克里金法的计算成本 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="script">O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal{O}(nr^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>；参见第 4 节的时序比较。</p>
<p>最后，利用空间协方差参数估计 ^ K 和 ^ \sigma^2 ，我们可以实施克里金法；将估计值代入方程式 (2.16)–(2.18)。由此产生的 FRK 涉及固定秩 r × r 矩阵和 n × n 对角矩阵的矩阵求逆，从而实现了与数据数量成线性关系的计算复杂度。</p>
<p>应为变化较小或数据较多的箱赋予更多权重。考虑加权 Frobenius 范数，</p>
<p>‖ˆ \boldsymbol{\Sigma}M − ̄ \boldsymbol{\Sigma}M (K, \sigma^2 )‖2a ≡ ∑ j,k ajak{( ^ \boldsymbol{\Sigma}M )jk − 。 ̄ \boldsymbol{\Sigma}M(K, \sigma^2 )/jk}2,</p>
<p>其中 a1,…,aM 是已知的正权重。等价地，</p>
<p>‖^ \boldsymbol{\Sigma}M − ̄ \boldsymbol{\Sigma}M (K, \sigma^2 )‖2a =‖ ̄ A1=2 ^ \boldsymbol{\Sigma}M ̄ A1=2 − ̄ A1=2 ̄ \boldsymbol{\Sigma}M (K, \sigma^2 ) ̄ A1=2‖2,</p>
<p>其中 ̄ A ≡ diag(a1,…,aM)，即 Frobenius 范数的加权版本仅涉及按 {aj : j = 1,. …,M}，因此它在计算上并不比未加权的版本更繁重。从附录 A 中的表达式 (A.5)，我们从统计上激励选择是</p>
<p>aj ∝ (w′ j1n)1=2=VD(uj), j = 1,…,M,</p>
<p>这是一个基于数据的权重，其中 VD(uj) 是第 j 个 bin 中的经验方差，由附录 A 中的表达式 (A.1) 给出。</p>
<p>总之，K 和 \sigma^2  的估计问题基于最小化加权 Frobenius 范数。这是一个加权最小二乘准则，直接类似于 Cressie (1985) 给出的变异函数估计方法。它是基于时刻​​的，而不是基于可能性的。在高斯假设下，K 和 \sigma^2  的似然性取决于 \Sigma^{-1} 和 |\boldsymbol{\Sigma}|。从 Sherman–Morrison–Woodbury 公式 (2.16)，我们得到 \Sigma^{-1}。类似的公式产生|\boldsymbol{\Sigma}|=|\sigma^2 V||K||K−1 + S′.\sigma^2 V/−1S|，它涉及 r × r 矩阵的行列式，即计算 K 和 \sigma^2  的似然性是可行的；然而，它的最大化是有问题的，除非 K 被进一步参数化 (Stein, 2008)。 Fuentes (2007) 在高斯性和协方差平稳性假设下给出了大型空间数据集的近似似然。</p>
<h2 id="4-臭氧卫星数据固定秩克里金法">4 臭氧卫星数据固定秩克里金法</h2>
<p>几十年来，科学家们一直对测量 TCO 的问题感兴趣。臭氧消耗导致紫外线辐射（290-400 nm 波长）在大气中的传输增加。这主要是有害的，因为对参与生化过程的 DNA 和细胞蛋白质造成损害，影响生长和繁殖。</p>
<p>在 20 世纪的第一季度，对 TCO 的测量相对较少。随后，随着多布森分光光度计的发明，研究人员获得了高效准确地测量 TCO 丰度的能力（伦敦，1985 年）。地面站系统在过去 40 年中提供了重要的 TCO 测量；然而，地面站数量相对较少，对地球的地理覆盖范围较差。极地轨道卫星的出现极大地提高了 TCO 测量的空间覆盖范围。</p>
<p>Nimbus-7极轨卫星于1978年10月24日发射升空，搭载臭氧总量测绘光谱仪。仪器在垂直于轨道平面的方向上以 3° 的步长扫描到天底点两侧的极值 51° (McPeters et al., 1996)。每次扫描大约需要 8 秒才能完成，包括回溯 1 秒（马德里，1978 年）。卫星的高度和臭氧总量测绘光谱仪的扫描模式使得连续的轨道重叠，重叠的面积取决于测量的纬度。这颗卫星与太阳同步，位于地球和太阳之间的平面上。由于地球自转，连续的轨道向西移动，因此 Nimbus-7 卫星在 24 小时内覆盖了整个地球。该仪器是一种被动传感器，依赖于反向散射光，这意味着在冬季，两极附近的观测非常少。</p>
<p>在接收卫星数据时，NASA 对其进行校准（“1 级”）并对其进行预处理，以产生空间和时间上不规则的 TCO 测量值（“2 级”）。随后处理 2 级数据以生成每日、空间规则的数据产品，并广泛发布给科学界（“3 级”）。 TCO 的 3 级数据产品使用 1° 纬度 x 1:25° 经度 (1°×1:25°) 像素（McPeters 等（1996），第 44 页）。 2 级 TCO 数据来自 NASA-Goddard 的臭氧处理团队分布式活动存档中心，并以伊利诺伊大学国家超级计算应用中心开发的分层数据格式存储。</p>
<p>在接下来的内容中，我们使用克里金法，特别是 FRK，每天预测 1ot ×1:25ot  网格中心的 TCO 数据，即预测在常规级别上的级别 2 空间支持3格。该示例旨在说明 FRK 处理超大数据集的能力； Shi 和 Cressie (2007) 根据 Terra 卫星上的多角度成像光谱仪仪器的测量结果，使用 FRK 生成气溶胶最佳深度的 3 级数据产品。</p>
<p>在本节中，我们使用 1988 年 10 月 1 日可用的 173 405 2 级 TCO 数据；参见图 1。我们基于克里格方程 (2.16)–(2.18) 实施 FRK；现在讨论这种最佳空间预测的一些实际方面。</p>
<p>我们在空间协方差模型 (2.12) 中选择的基函数由三个变化尺度组成。每个尺度有 32、92 和 272 个函数与之相关，对应于离散全球网格的中心点（Sahr，2001）；参见图 2。我们的空间协方差模型中的通用基函数是局部双平方函数：</p>
<p>Sj(l)(u) ≡ { {1 − (‖u − vj.l)‖=rl/2}2, ‖u − vj(l)‖ rl, 0, 否则,</p>
<p>其中 vj(l) 是第 l 分辨率的中心点之一，l = 1, 2, 3, and</p>
<p>rl ≡ 1:5.第l分辨率中心点间的最短大弧距离/:</p>
<p>例如，对于 l = 1，最短距离为 4165 公里，因此 rl = 6747:5；分辨率 2 和 3 的中心点之间的距离分别为 1610 公里和 1435 公里。请注意，总共有 r = 32 + 92 + 272 = 396 个基函数。</p>
<p>对数据进行分箱，进行参数估计；请参阅第 3.3 节。我们选择 M = 812 和 {u1,…,u812} 作为上面提到的离散全局网格的分辨率 4 的中心点。在计算矩量法估计器 ^ \boldsymbol{\Sigma}M 后，假设 K 和 \sigma^2  均值恒定，E{Y(\mathbf{s})} ≡ α（即 t(\mathbf{s}) ≡ 1）和 V = I。图 3 显示了理论的完美拟合半变异函数到经验半变异函数，在地球上的六个位置。在地球上的给定位置，根据该位置 3000 公里半径内的所有数据计算作为空间滞后函数的经验半变异函数。对协方差函数 (2.12) 隐含的（非平稳）理论变异函数值取相同的平均值。结果是一个平均的理论半变异函数，它现在是空间滞后的函数，它与图 3 中的经验半变异函数进行了比较。这是一个诊断总结，比个体的经验和拟合协方差函数更容易评估地球上的位置。</p>
<p>将 K 和 \sigma^2  的估计代入方程 (2.7) 和 (2.10)，我们分别获得 FRK 预测变量和 FRK 标准误差。在规则的 1ot ×1:25ot  网格上，这将分别产生图 4 和图 5。图 4 显示了 TCO 的平滑图，在-55°纬度带附近具有特征性的大 TCO 值，它们从那里急剧下降，形成南极上空的臭氧空洞。在图 5 中，由于几何形状和轨道重叠导致的可变采样密度，卫星条带很明显；基函数在显示的预测标准误差中的作用是可以预料的。</p>
<p>我们强调所有 173 405 个数据都用于生成图 4 和图 5，我们使用的协方差函数是非平稳的，矩阵求逆仅涉及 396 × 396 矩阵。重要的是，图 4 中的地图是 1° × 1:25° 网格上 TCO 的统计最优预测器（对于平方误差损失）。</p>
<p>以下计时是在配备 Intel M 处理器的 1.8 GHz 笔记本电脑上进行的，它们适用于 FRK 在所有 180 × 228 = 51 840 个预测位置的 173 405 个数据上。时间以秒为单位，在括号中给出：S（21 秒）、{S.s0/}（6 秒）、{^ Y(s0)}（4 秒）和 {σk(s0)}（19 秒）。由于计算成本与 n 呈线性关系，因此很明显 FRK 可以扩展到千兆字节量级的海量数据集。现在考虑参数 K 和 \sigma^2  的估计： ^ \boldsymbol{\Sigma}M (35 s)； ^ K 和 ^ \sigma^2  (56 s)。虽然这比预测部分花费更多时间，但它取决于 M，即 bin 的数量，而这与 n 无关。</p>
<h2 id="5-讨论">5 讨论</h2>
<p>本文介绍了空间数据集非常大时的精确克里金法（空间 BLUP）方法。从计算成本计算来看，FRK 是线性可扩展的，可以处理海量数据集（千兆字节量级）。我们的结果依赖于使用一类源自空间随机效应模型的非平稳协方差函数。从等式 (2.12) 回想一下</p>
<p>C(u, v) ≡ S(u)′KS(v), u, v \in  Rd,</p>
<p>其中 S(\cdot) ≡ (S1(\cdot),…,Sr(\cdot))′ 是基函数向量。 r × r 正定矩阵 K 是空间相关参数，我们使用加权最小二乘法以经典地统计学方式对其进行估计； K 的最大似然估计是未来研究的主题。正在开发中的贝叶斯方法在 K 上放置先验（例如 Wishart 分布）。贝叶斯模型规范然后可以通过假设完成，例如，Y(\cdot) 是独立于高斯分布的高斯过程白噪声过程"(\cdot)，\sigma^2 的先验是伽玛分布</p>
<p>贝叶斯分析还允许在 Diggle 等考虑的那种非线性地统计模型中进行最佳空间预测。 (1998)。尽管此类模型对于大型空间数据集的计算量可能很大，但由于在分析中使用了马尔可夫链蒙特卡罗计算，仍然有机会通过使用空间模型 (2.12) 来实现计算加速。作为这方面的证据，Hrafnkelsson 和 Cressie (2003) 将标准地统计协方差模型与直接对逆协方差矩阵建模的模型进行了比较，他们报告说后者导致计算效率提高了 5 倍以上。</p>
<p>（隐藏的）Y 过程中的微尺度变化可以通过在等式 (2.6) 中包含另一个对角矩阵来建模。当两个对角矩阵彼此成比例时，测量误差参数 \sigma^2  和微尺度参数 τ 2 不可单独识别，尽管它们的和 τ 2 + \sigma^2  是。该总和在地统计学文献中通常被称为“掘金效应”。在本文中，我们假设 Y(\cdot) 是平滑的（即 τ 2 = 0），其余的可变性是由测量误差引起的。</p>
<p>由表达式 (2.12) 给出的非平稳协方差函数具有显着的支持度变化特性。令 B ⊂ Rd 并定义 Y.B/ ≡ ∫ B Y(\mathbf{s}) ds=|B|，其中 |B|是 B 的 d 维体积。那么</p>
<p>cov{Y(B1), Y(B2)} = S(B1)′KS(B2), B1, B2 ⊂ Rd,</p>
<p>其中 S(B) ≡ (S1.B),(…,Sr.B)/′ 和 Sl(B) ≡ ∫ B Sl(\mathbf{s}) ds=|B|,forB ⊂ Rd。因此，无论数据和预测变量的支持如何，克里金方程都采用与方程 (2.16)–(2.18) 相同的形式。实际上，基本功能将离线集成。</p>
<p>最后，从第 3.2 节中给出的空间随机效应模型 ν(\mathbf{s}) = S(\mathbf{s})′η 到时空随机效应模型 ν.s, t/ = S(\mathbf{s})′ η 的自然推广(t)，其中 {η(t) : t = 0, 1, 2, . . .} 是均值为 0 且 cov{η.t1/, η(t2)} ≡ K(t1, t2), t1, t2 = 0, 1, 2, . . … 基于此模型的时空克里金法和时空卡尔曼滤波，以及涉及趋势的混合模型版本，目前正在研究中</p>
<h2 id="参考文献">参考文献</h2>
<ul id="refplus"><li id="ref-Adler1981" data-num="1">[1]  Adler, R. J. (1981) The Geometry of Random Fields. Chichester: Wiley.</li><li id="ref-Billings2002a" data-num="2">[2]  Billings, S. D., Beatson, R. K. and Newsam, G. N. (2002a) Interpolation of geophysical data using continuous global surfaces. Geophysics, 67, 1810–1822.</li><li id="ref-Billings2002b" data-num="3">[3]  Billings, S. D., Newsam, G. N. and Beatson, R. K. (2002b) Smooth fitting of geophysical data using continuous global surfaces. Geophysics, 67, 1823–1834.</li><li id="ref-Cressie1985" data-num="4">[4]  Cressie, N. (1985) Fitting variogram models by weighted least squares. J. Int. Ass. Math. Geol., 17, 563–586.</li><li id="ref-Cressie1989" data-num="5">[5]  Cressie, N. (1989) Geostatistics. Am. Statistn, 43, 197–202.</li><li id="ref-Cressie1990" data-num="6">[6]  Cressie, N. (1990) The origins of kriging. Math. Geol., 22, 239–252.</li><li id="ref-Cressie1993" data-num="7">[7]  Cressie, N. 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高斯场和高斯马尔可夫随机场之间的明确联系</div></div></a></div><div class="next-post pull-right"><a href="/posts/4a9a38ba.html"><img class="next-cover" src="/img/book_12.png" onerror="onerror=null;src='/img/404.jpg'" alt="cover of next post"><div class="pagination-info"><div class="label">下一篇</div><div class="next_info">协方差锥化</div></div></a></div></nav><div class="relatedPosts"><div class="headline"><i class="fas fa-thumbs-up fa-fw"></i><span>相关推荐</span></div><div class="relatedPosts-list"><div><a href="/posts/5d008fa3.html" title="随机偏微分方程方法: 高斯场和高斯马尔可夫随机场之间的明确联系"><img class="cover" src="/img/coffe_12.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2023-01-08</div><div class="title">随机偏微分方程方法: 高斯场和高斯马尔可夫随机场之间的明确联系</div></div></a></div><div><a href="/posts/8d107a33.html" title="近似受限似然方法"><img class="cover" src="/img/005.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2023-01-09</div><div 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toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-2-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%87%BD%E6%95%B0"><span class="toc-text">2.2 空间协方差函数</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-3-%E5%9B%BA%E5%AE%9A%E7%A7%A9%E5%85%8B%E9%87%8C%E9%87%91%E6%B3%95"><span class="toc-text">2.3 固定秩克里金法</span></a></li></ol></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#3-%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%B1%BB"><span class="toc-text">3 协方差函数类</span></a><ol class="toc-child"><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#3-1-%E4%B8%80%E4%BA%9B%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%B1%9E%E6%80%A7"><span class="toc-text">3.1 一些基本属性</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#3-2-%E5%9F%BA%E5%87%BD%E6%95%B0"><span class="toc-text">3.2 基函数</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#3-3-%E6%8B%9F%E5%90%88%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%87%BD%E6%95%B0"><span class="toc-text">3.3 拟合协方差函数</span></a></li></ol></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#4-%E8%87%AD%E6%B0%A7%E5%8D%AB%E6%98%9F%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%9B%BA%E5%AE%9A%E7%A7%A9%E5%85%8B%E9%87%8C%E9%87%91%E6%B3%95"><span class="toc-text">4 臭氧卫星数据固定秩克里金法</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#5-%E8%AE%A8%E8%AE%BA"><span class="toc-text">5 讨论</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#%E5%8F%82%E8%80%83%E6%96%87%E7%8C%AE"><span class="toc-text">参考文献</span></a></li></ol></div></div></div></div></main><footer id="footer"><div id="footer-wrap"><div class="copyright">&copy;2020 - 2023 By 西山晴雪</div><div class="framework-info"><span>框架 </span><a target="_blank" rel="noopener" href="https://hexo.io">Hexo</a><span class="footer-separator">|</span><span>主题 </span><a target="_blank" rel="noopener" href="https://github.com/jerryc127/hexo-theme-butterfly">Butterfly</a></div></div></footer></div><div id="rightside"><div 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  if (typeof pangu === 'object') pangu.autoSpacingPage()
  else {
    getScript('https://cdn.jsdelivr.net/npm/pangu/dist/browser/pangu.min.js')
      .then(() => {
        pangu.autoSpacingPage()
      })
  }
}

function panguInit () {
  if (true){
    GLOBAL_CONFIG_SITE.isPost && panguFn()
  } else {
    panguFn()
  }
}

document.addEventListener('DOMContentLoaded', panguInit)</script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/algoliasearch/dist/algoliasearch-lite.umd.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/instantsearch.js/dist/instantsearch.production.min.js"></script><script src="/js/search/algolia.js"></script><script>var preloader = {
  endLoading: () => {
    document.body.style.overflow = 'auto';
    document.getElementById('loading-box').classList.add("loaded")
  },
  initLoading: () => {
    document.body.style.overflow = '';
    document.getElementById('loading-box').classList.remove("loaded")

  }
}
window.addEventListener('load',preloader.endLoading())</script><div class="js-pjax"><link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/katex.min.css"><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/contrib/copy-tex.min.js"></script><script>(() => {
  document.querySelectorAll('#article-container span.katex-display').forEach(item => {
    btf.wrap(item, 'div', { class: 'katex-wrap'})
  })
})()</script><script>(() => {
  const $mermaidWrap = document.querySelectorAll('#article-container .mermaid-wrap')
  if ($mermaidWrap.length) {
    window.runMermaid = () => {
      window.loadMermaid = true
      const theme = document.documentElement.getAttribute('data-theme') === 'dark' ? '' : ''

      Array.from($mermaidWrap).forEach((item, index) => {
        const mermaidSrc = item.firstElementChild
        const mermaidThemeConfig = '%%{init:{ \'theme\':\'' + theme + '\'}}%%\n'
        const mermaidID = 'mermaid-' + index
        const mermaidDefinition = mermaidThemeConfig + mermaidSrc.textContent
        mermaid.mermaidAPI.render(mermaidID, mermaidDefinition, (svgCode) => {
          mermaidSrc.insertAdjacentHTML('afterend', svgCode)
        })
      })
    }

    const loadMermaid = () => {
      window.loadMermaid ? runMermaid() : getScript('https://cdn.jsdelivr.net/npm/mermaid/dist/mermaid.min.js').then(runMermaid)
    }

    window.pjax ? loadMermaid() : document.addEventListener('DOMContentLoaded', loadMermaid)
  }
})()</script></div><script id="canvas_nest" defer="defer" color="0,0,255" opacity="0.7" zIndex="-1" count="99" mobile="false" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/dist/canvas-nest.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/dist/activate-power-mode.min.js"></script><script>POWERMODE.colorful = true;
POWERMODE.shake = true;
POWERMODE.mobile = false;
document.body.addEventListener('input', POWERMODE);
</script><link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/aplayer/dist/APlayer.min.css" media="print" onload="this.media='all'"><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/aplayer/dist/APlayer.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/metingjs/dist/Meting.min.js"></script></div></body></html>